По­яс­не­ние. Син­так­си­че­ские нормы на­ру­ше­ны в пред­ло­же­ни­ях:

1)   Мама все­гда за­бо­ти­лась и пе­ре­жи­ва­ла за нас. — на­ру­ше­ние есть, оно со­сто­ит в том, что при двух ска­зу­е­мых одно до­пол­не­ние «за нас», но оно не может быть общим: за­бо­ти­лась (о ком?) и пе­ре­жи­ва­ла (за кого?) Пра­виль­но было бы: Мама все­гда про­яв­ля­ла за­бо­ту и пе­ре­жи­ва­ла за нас

2)   Изу­чив транс­порт­ные про­бле­мы го­ро­да, при­ш­лось сде­лать опре­делённые вы­во­ды.— на­ру­ше­ний нет, де­е­при­част­ный обо­рот от­но­сит­ся к ин­фи­ни­ти­ву с мо­даль­ным сло­вом «при­ш­лось»

3)   По­бе­да в кон­кур­се сви­де­тель­ству­ет о хо­ро­шей под­го­тов­ке уча­щих­ся. — на­ру­ше­ний нет

4)   Она спро­си­ла, что знаю ли я об этом. — на­ру­ше­ние есть, оно со­сто­ит в том, что при пе­ре­да­че кос­вен­ной речи од­но­вре­мен­но ис­поль­зо­ван союз и ча­сти­ца ли. Пра­виль­но толь­ко с ча­сти­цей: Она спро­си­ла, знаю ли я об этом

5)  Летом мы не толь­ко по­бы­ва­ли на море, но и в горах. Эта ошиб­ка вы­зва­на тем, что в пред­ло­же­ни­ях, в ко­то­рых од­но­род­ные члены свя­за­ны двой­ны­ми со­ю­за­ми: не толь­ко..., но и...; если не..., то... и др. части двой­но­го союза долж­ны со­еди­нять не­по­сред­ствен­но од­но­род­ные члены.

При­ведём вер­ное на­пи­са­ние: Летом мы по­бы­ва­ли не толь­ко на море, но и в горах.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 145